| | | |
 Uploading ....
[Tatonări (incertitudini)]
Viteza volumică a unui punct material în mişcare este volumul descris în unitatea de timp de raza lui vectoare.
Dacă luăm ca rază vectoare segmentul care uneşte un punct din planul osculator cu punctul material, avem următoarele. Este vorba în acest caz despre volumul tetraedrului format de vectorii  ,  şi  . Volumul acestui tetraedru este o şesime din produsul lor mixt.
Avem relaţiile
 ,
 .
Să facem acum produsul mixt
 .
Dar vectorul
este perpendicular atât pe vectorul de poziţie, cât şi pe viteză. Aşadar, produsul scalar dintre acest vector şi vectorul de poziţie este nul şi la fel este şi produsul scalar dintre acest vector şi viteză. Avem atunci
 ,
şi ţinând seama de expresia lui  , obţinem
 ,
adică
 .
Observăm că derivata în raport cu timpul a acestei expresii se anulează, căci şi după împărţirea cu intervalul de timp infinitezimal rămâne pătratul acestui interval de timp. Aceasta deoarece am luat un vector de poziţie cu originea în planul osculator. Este ca şi cum am fi luat pentru viteza areolară un vector de poziţie cu originea pe curbă.
Viteza volumică a unui vector  este volumul descris de triunghiul vectorului respectiv în unitatea de timp.
Se poate pune problema dacă, prin analogie cu momentul cinetic, impulsul volumic este de trei ori produsul dintre masă şi viteza volumică.
-(1103171934) Prin analogie cu viteza liniară, viteza volumică ar putea fi o sumă de trei viteze volumice faţă de fiecare axă. Viteza liniară are trei componente, fiind suma celor trei proiecţii pe axe ale vitezei liniare.
-(1103171940) Pentru a defini viteza liniară fixăm un punct pe curbă (polul liniar) şi raportăm mişcarea punctului material la acest punct fix. Pentru a defini viteza areolară fixăm două puncte pe curbă (polul liniar şi polul areolar) şi studiem variaţia ariei triunghiului format de cei doi poli şi punctul material. Pentru a defini viteza volumică fixăm trei puncte pe curbă (polul liniar, polul areolar şi polul volumic) şi studiem variaţia volumului tetraedrului format de cele trei puncte fixe şi punctul material.
-(1103171956) Vreau să înţeleg de ce viteza areolară poate fi considerată ca fiind aria descrisă în unitatea de timp de către vectorul de poziţie, pe când viteza volumică nu poate fi considerată ca fiind volumul descris în unitatea de timp de vectorul de poziţie. Pentru aceasta trebuie să observăm că pentru viteza areolară s-a presupus din start că vectorul de poziţie la momentul iniţial este nenul, deci s-a presupus că originea reperului nu se află pe curbă, ci se află în afara ei. Atunci, în acelaşi mod, va trebui să considerăm că originea vectorului de poziţie nu se află nici măcar în planul curbei la momentul iniţial.
-(1103172001) Să observăm că dacă originea vectorului de poziţie se află în afara dreptei de mişcare, atunci punctul material are viteză areolară nenulă chiar dacă se deplasează rectiliniu. La fel ar trebui să fie şi în cazul vitezei volumice. Mai precis, dacă originea vectorului de poziţie se află în afara planului de mişcare, atunci viteza volumică trebuie să fie nenulă chiar dacă punctul material se deplasează pe o curbă plană.
-(1103172006) Am putea defini atunci viteza volumică tocmai acea mărime fizică egală cu o treime din produsul scalar dintre poziţie şi viteza areolară. Numai că aceasta este o definiţie ciudată pentru că nu ştim faţă de cine se măsoară viteza areolară şi faţă de cine se măsoară poziţia. Căci dacă cei doi vectori se măsoară faţă de acelaşi punct, atunci viteza volumică rezultată ca făcând produsul scalar în aceste condiţii ar fi nulă.
-(1103172011) Tocmai de aceea trebuie să menţionăm că viteza areolară este de fapt aria descrisă în unitatea de timp de către proiecţia vectorului de poziţie pe planul curbei. Pentru valoarea vitezei areolare contează unde considerăm că se află originea vectorului de poziţie.
-(1103172031) Să luăm exemplul în care punctul material descrie un cerc. În acest caz, dacă luăm ca origine pentru vectorul de poziţie tocmai centrul cercului, atunci viteza areolară este constantă, dar dacă luăm ca origine un punct situat în afara planului cercului, atunci viteza areolară variază în direcţie (precesează în jurul unei drepte perpendiculare pe planul cercului).
-(1103172048) Aşadar, viteza areolară este prea dependentă de originea vectorului de poziţie. Acest lucru denotă că definiţia vitezei areolare lasă de dorit şi sugerează că trebuie să aprofundăm definiţia vitezei areolare pentru a o corecta.
-(1103172101) Pentru a face mai independentă viteza areolară de origini, vom defini viteza areolară faţă de două puncte fixe din spaţiu, nu faţă de unul. Se naşte atunci noţiunea de „triunghi de poziţie”.
-(1103172117) În fine, pentru a preciza complet poziţia unui punct material sunt suficiente trei puncte fixe în spaţiu, diferite de origine, care definesc extremităţile versorilor unitate ale celor trei axe. Aceste puncte fixe împreună cu punctul material formează un tetraedru dreptunghic. Lungimile catetelor definesc poziţia liniară, ariile feţelor laterale definesc poziţia areolară, iar volumul tetraedrului defineşte poziţia volumică a punctului material respectiv. Nu e bine, pentru că tetraedrul nu este neapărat dreptunghic.
-(1103172202) Poziţia liniară a unui punct este dată de distanţa dintre punctul respectiv şi proiecţiile sale pe cele trei plane perpendiculare ale reperului cartezian. Am putea defini apoi drept poziţie areolară suma vectorială a vectorilor arie a fiecărui triunghi format de punctul respectiv cu câte două dintre proiecţiile sale. În fine, poziţia volumică ar putea fi volumul tetraedrului format de punctul respectiv şi proiecţiile sale pe cele trei plane. Să studiem în timp aceste mărimi.
-(1103172225) Să observăm că dacă punctul se află pe planul cartezian XOY, atunci poziţia sa areolară este dată doar de un singur triunghi format de punctul respectiv şi cele două proiecţii rămase. Deci, poziţia sa areolară este 1/2 xy.
-(1103172233) Sunt curios dacă această definiţie este consistentă cu viteza areolară, adică sunt curios dacă viteza areolară este derivata în raport cu timpul a poziţiei areolare. Pentru aceasta să presupunem un caz simplu în care punctul se deplasează cu viteza constantă pe o dreaptă paralelă cu OX în planul XOY. În acest caz definiţia este consistentă, viteza areolară este tocmai derivata în raport cu timpul a poziţiei areolare. Să presupunem acum că punctul se deplasează pe un cerc din planul XOY cu centrul în origine. Poziţia areolară este la orice moment 1/2 xy. Să derivăm aceasta în raport cu timpul. Obţinem
 .
-(1103172245) Să vedem cât este modulul vitezei areolare în acest caz. Avem
 .
Hmmm... Şi ele cam diferă...
-(1103172300) Era şi mai clar că ele diferă dacă observam că viteza areolară este constantă în acest caz, pe când poziţia areolară devine chiar şi nulă atunci când se anulează unul dintre factorii x sau y. Deci, derivata poziţiei areolare nu este viteza areolară, ceea ce face din poziţia areolară ceva inutil deocamdată.
[/Tatonări (incertitudini)]
Vezi şi: viteza areolară.
|
|
|
| | | |
|
