| | | |
Home /
Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet  Uploading ....Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet demonstrează că unei curbe din spaţiu îi putem asocia mai multe triedre Frenet care satisfac formulele lui Frenet.
Studiind formulele lui Frenet am ajuns la concluzia că acestea sunt recursive. Mai precis, folosind forma trigonometrică a formulelor lui Frenet (formă despre care puteţi găsi amănunte plictisitoare pe blogul meu), am demonstrat următoarea
Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul n
care satisface formulele lui Frenet de ordinul n scrise sub forma trigonometrică
 ,
atunci există încă un triedru drept de ordinul n+1
care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul n+1 scrise sub forma trigonometrică
 ,
unde  şi  .
Demonstraţie: Din relaţiile
 şi 
avem că
 , deci  .
Mai avem  , de unde  .
Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul n+1
şi obţinem
 .
Înlocuind  şi  , obţinem
 .
Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem
 ,
deci
 .
Cum  şi  , rezultă în final
 ,
ceea ce trebuia demonstrat.
|
|
|
| | | |
|
