Urmăriți mișcarea triedrului Frenet
în imaginea de pe saitul http://www.math.byu.edu
.
Se observă că viteza liniară cu care
triedrul parcurge curba poate fi descompusă în două componente
reciproc perpendiculare: o componentă paralelă cu axa elicei și o
componentă perpendiculară pe axa elicei.
Viteza liniară a triedrului Frenet
este paralelă cu tangenta, deci avem 
.
Atunci, prin definiție, putem scrie că, în cazul general,
. De aici rezultă că 
. Dar știm că 
este versorul vitezei unghiulare. Așadar, viteza de
ordin superior este paralelă cu viteza unghiulară (deci cu axa
elicei tangente la curbă în punctul respectiv). Cu alte cuvinte,
viteza de ordin superior este tocmai componenta vitezei paralelă cu
axa elicei, deci este proiecția pe axă a vitezei de ordin inferior.
Prin urmare avem că 
. Dar
știm că 
, deci
, adică
.
Înlocuind în formula vitezei, obținem că
, de unde
rezultă că 
. Dar
această ultimă formulă trebuie să fie valabilă pentru orice
ordin, deci avem că
!!!
Așadar, produsul dintre viteza
liniară superioară și viteza unghiulară inferioară este
constant!
Dar până unde putem coborî ordinul?
Știm că odată cu micșorarea ordinului viteza unghiulară scade,
iar viteza liniară crește. Mai știm că 
și
că viteza maximă posibilă este viteza luminii, deci o viteză
finită. Prin urmare, ordinul nu poate fi 0 pentru că
valoarea constantei ar trebui să fie nulă pentru orice ordin, ceea
ce nu este adevărat deoarece există ordine pentru care nici viteza
liniară și nici viteza unghiulară nu se anulează. Cum cel mai mic
ordin diferit de 0 este 1, rezultă că
!
Acest lucru este universal
valabil, deci este valabil pentru orice mișcare posibilă! În
particular, dacă 
, atunci
. Prin urmare, există o viteză unghiulară minimă în Univers! Nicio
viteză unghiulară a vreunui triedru Frenet nu poate fi mai mică
decât această viteză unghiulară minimă!
Consider că această consecință a
teoremei are o valoare deosebită.
Uploading ....